Cuatro colores

El teorema matemático de los cuatro colores dice:

En un plano o en una esfera no se necesitan más de cuatro colores para colorear un mapa de tal manera que dos regiones vecinas (es decir, que comparten una frontera y no sólo un punto) no queden coloreadas de un mismo color.

Los orígenes de este problema son muy antiguos. Los cartógrafos renacentistas sabían ya que les bastaban cuatro colores para iluminar sus mapas de manera que dos países vecinos quedaran iluminados de distintos color. Sin embargo, hasta el siglo XIX, a nadie se le había ocurrido que este hecho tuviera que ver con matemáticas y mucho menos que se podía demostrar.

El "problema de los cuatro colores" se convirtió formalmente en un problema matemático cuando en 1850, Francis Guthrie, se dio cuenta de que siempre podía iluminar correctamente los mapas sin usar más de cuatro colores. Intuyó que era posible demostrar esto y se lo contó a su hermano Frederick, quien había estudiado con un prestigioso matemático inglés de la época llamado Augustus De Morgan. De Morgan no supo solucionar el problema pero le pareció suficientemente interesante como para enviarle una  carta a otro prestigiado matemático inglés: Sir William Hamilton, quien decidió no hacerle caso al problema.

Durante muchos años, expertos y novatos intentaron resolver este problema. De hecho, se hizo tan famoso en el medio matemático, que en 1878 el inglés Arthur Cayley lo propuso oficialmente como un problema a resolver a la Sociedad Matemática de Londres (London Mathematical Society, una de las sociedades de matemáticos más importantes del mundo en esa época).

Varios matemáticos propusieron demostraciones que se probó tenían errores, pero con el paso de los años y el trabajo de muchas personas, se logró demostrar dos cosas fundamentales:

Que tres colores son insuficientes para colorear cualquier mapa, es decir, existen mapas que no pueden colorearse de ningún modo usando únicamente tres colores.

Que con cinco colores se puede colorear cualquier mapa correctamente.

De esta manera, aunque no había prueba se sabía que ni con tres colores ni con cinco se podía iluminar un mapa siguiendo las condiciones del teorema, así que el número cuatro era el candidato ideal... 

Finalmente en 1976 (¡124 años después de que se había planteado el problema!) dos matemáticos de la Universidad de Illinois en Estados Unidos, Kenneth Appel y Wolfgang Haken, al usar una computadora Cray de segunda generación, analizaron 1900 posibles arreglos de regiones en el plano, es decir, 1900 tipos distintos de mapas. La computadora tardó 1,200 horas en correr un programa y para todos los mapas encontró una coloración en la que a lo más se usaban cuatro colores. ¡El problema había sido resuelto!

Muchos matemáticos aceptaron esto como una prueba irrefutable, pero otros argumentaron que el que una máquina hubiera encontrado ese resultado no era una demostración matemática pues ¿qué tal sí existía un mapa que la computadora no hubiera contemplado que no pudiera colorearse de esa forma?

La discusión continuó por veinte años, hasta que en 1996, los matemáticos Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour y Robin Thomas, de la Escuela de Matemáticas del Instituto Tecnológico de Georgia, en Estados Unidos, publicaron una demostración, aparentemente correcta, del "teorema de los cuatro colores". Y así acaba esta historia, pues hasta ahora nadie la ha refutado...